这几天在看《统计学习方法》这本书，发现 梯度下降法 在 感知机 等机器学习算法中有很重要的应用，所以就特别查了些资料。
一.介绍
梯度下降法(gradient descent)是求解无约束最优化问题的一种常用方法，有实现简单的优点。梯度下降法是迭代算法，每一步需要求解目标函数的梯度向量。
二.应用场景
1.给定许多组数据(xi, yi)，xi (向量)为输入，yi为输出。设计一个线性函数y=h(x)去拟合这些数据。
2.感知机：感知机(perceptron)为二类分类的线性分类模型。 输入为实例的特征向量，输出为实例的类别， 取+1 和 -1 二值。
下面分别对这两种应用场景进行分析。
1.对于第一种场景:
既然是线性函数，在此不妨设为 h(x) = w0*x0 + w1*x1。
此时我们遇到的问题就是如何确定w0和w1这两个参数，即w=(w0，w1)这个向量。
既然是拟合，则拟合效果可以用平方损失函数：E(w)=∑ [ h(x)- y ] ^2 / 2 来衡量。
其中w是权重二维向量，x是输入二维向量，x和y都是训练集的数据，即已知。
至于后面除于2只是为了之后的推导过程中对E求导时候可以消除系数，暂时可以不管。
因此该问题变成了求E(w)最小值的无约束最优化问题
2.对于第二种场景:
假设输入空间(特征向量)为x，输出空间为y = {+1, -1},由输入空间到输出空间的如下函数
f(x) = sign(w · x + b) w∈Rn 其中 w 叫做权值或者权值向量, b叫做偏振。w · x 表示向量w和x的点积
感知机sign(w · x + b)的损失函数为 L(w, b) = -∑yi(w · xi + b) x ∈M, M为误分类点集合。
因此该问题变成了求L(w, b)最小值的无约束最优化问题
三.梯度下降方法
梯度其实就是高数求导方法，对E这个公式针对每个维数(w0，w1)求偏导后的向量▽E(w)=(∂E/∂w0,∂E/∂w1)
1. 对于第一种场景
对E这个公式针对每个维数(w0，w1)求偏导后的向量▽E(w)=(∂E/∂w0,∂E/∂w1)
梯度为最陡峭上升的方向，对应的梯度下降的训练法则为： w=w-η▽E(w) 这里的η代表学习速率，决定梯度下降搜索中的步长 。
上式的w是向量，即可用将该式写成分量形式为:wi=wi-η*∂E/∂wi
现在关键就使计算∂E/∂wi：
推导过程很简单，书上写的很详细，这里只记录结论(其实就是对目标函数求导):
∂E/∂wi=∑(h(x)-y)*(xi)
这里的∑是对样本空间，即训练集进行一次遍历，耗费时间较大，可以使用梯度下降的随机近似：
2. 对于第二种场景
感知机学习算法是误分类驱动的，具体采用随机梯度下降方法
▽wL(w, b) = -∑yixi
▽bL(w, b) = -∑yi
随机选取一个误分类点(xi, yi), 对w, b进行更新：
w <—— w - η * (-yixi)
b <—— b - η * (-yi) 式中η(0 < η <= 1)是步长，在统计学习中又称为学习率(learning rate)
四.随机梯度下降的随机近似：
既然是随机近似，则顾名思义，肯定是用近似方法来改善梯度下降时候的时间复杂度问题。
正如上所说，在∂E/∂wi=∑(h(x)-y)*(xi) 的时候∑耗费了大量的时间，特别是在训练集庞大的时候。
所以肯定有人会猜想，如果把求和去掉如何，即变为∂E/∂wi=(h(x)-y)*(xi)。
幸运的是，猜想成立了。
只是要注意一下标准的梯度下降和随机梯度下降的区别：
1.标准下降时在权值更新前汇总所有样例得到的标准梯度，随机下降则是通过考察每次训练实例来更新。
2.对于步长 η的取值，标准梯度下降的η比随机梯度下降的大。
因为标准梯度下降的是使用准确的梯度，理直气壮地走，随机梯度下降使用的是近似的梯度，就得小心翼翼地走，怕一不小心误入歧途南辕北辙了。
3.当E(w)有多个局部极小值时，随机梯度反而更可能避免进入局部极小值中。
四.代码及实例：
1. 对于第一种场景(批量梯度下降)：
第一步：对(x[0,0]，x1[0,1])，(x[1,0],x[1,1]).........(x[n,0],x[n,1])进行梯度计算之后得出W0、W1,
第二步：对函数进行损失衡量(误差达到标准就退出，不达到标准就进行第三步)
第三步：对(x[0,0]，x1[0,1])，(x[1,0],x[1,1]).........(x[n,0],x[n,1])进行梯度计算之后得出W0、W1,
第四步：对函数进行损失衡量(误差达到标准就退出，不达到标准就进行第五步)
。。。。。知道达到误差标准就退出
1 #include "stdio.h" 2 3 int main(void) 4 { 5 float matrix[4][2]={ { 1,4},{ 2,5},{ 5,1},{ 4,2}}; 6 float result[4]={ 19,26,19,20}; 7 float theta[2]={ 2,5}; //initialized theta {2,5}, we use the algorithm to get {3,4} to fit the model 8 float learning_rate = 0.01; 9 float loss = 1000.0; //set a loss big enough10 11 for(int i = 0;i<100&&loss>0.0001;++i)12 {13 float error_sum = 0.0;14 for(int j = 0;j<4;++j)15 {16 float h = 0.0;17 for(int k=0;k<2;++k)18 {19 h += matrix[j][k]*theta[k];20 }21 error_sum = result[j]-h;22 for(int k=0;k<2;++k)23 {24 theta[k] += learning_rate*(error_sum)*matrix[j][k];25 }26 }27 printf("*************************************\n");28 printf("theta now: %f,%f\n",theta[0],theta[1]);29 loss = 0.0;30 for(int j = 0;j<4;++j)31 {32 float sum=0.0;33 for(int k = 0;k<2;++k)34 {35 36 37 sum += matrix[j][k]*theta[k];38 }39 loss += (sum-result[j])*(sum-result[j]);40 }41 printf("loss now: %f\n",loss);42 }43 return 0;44 } 2. 对于第一种场景(随机梯度下降)：
第一步：对(x[0,0])进行梯度计算之后得出初始W0、W1,
第二步：对函数进行损失衡量(误差达到标准就退出，不达到标准就进行第三步)
第三步：对(x[1,0],x[1,1])进行梯度计算之后得出新的W0、W1,
第四步：对函数进行损失衡量(误差达到标准就退出，不达到标准就进行第五步)
。。。。。
第n步：对(x[n,0],x[n,1])进行梯度计算之后得出新的W0、W1,
第n+1步：对函数进行损失衡量(误差达到标准就退出，不达到标准就进行第n+2步)
。。。知道达到误差标准就退出
1 /* 2 * 随机梯度下降实验： 3 * 训练集输入为矩阵： 4 * 1,4 5 * 2,5 6 * 5,1 7 * 4,2 8 * 输出结果为： 9 * 1910 * 2611 * 1912 * 2013 * 需要参数为 w：14 * ？15 * ？16 *17 * 目标函数:y=w0*x0+w1*x1;18 *19 * */20 #include21 #include 22 int main()23 {24 double matrix[4][2]={ { 1,4},{ 2,5},{ 5,1},{ 4,2}};25 double result[4]={ 19,26,19,20};26 double w[2]={ 0,0};//初始为零向量27 double loss=10.0;28 const double n = 0.01; //步长 29 for(int i=0;i<100&&loss>0.001;i++)30 {31 double error_sum=0;32 int j=i%4;33 { //这里的作用就是隔离变量j而已，没特殊意义34 double h=0;35 for(int k=0;k<2;k++)36 {37 h+=matrix[j][k]*w[k];38 }39 error_sum = h - result[j];40 for(int k=0;k<2;k++)41 {42 w[k]-= n * (error_sum) * matrix[j][k];//这里是关键43 }44 }45 printf("%lf,%lf\n",w[0],w[1]);46 double loss=0;47 for(int j=0;j<4;j++)48 {49 double sum=0;50 for(int k=0;k<2;k++)51 {52 sum += matrix[j][k] * w[k];53 }54 loss += (sum - result[j]) * (sum-result[j]);55 }56 printf("%lf\n",loss);57 }58 59 system("pause");60 return 0;61 }
3. 对于第二种场景
当x为一维时：
wi =wi+µyix[i][0]
wi =wi+µyix[i][1] µ:步长
b = b+ µyi
当x为二维时：
wi =wi+µyix[i]
b = b+ µyi
1 #include2 using namespace std; 3 4 class perceptron 5 { 6 public: 7 perceptron() { w[0] = 1; w[1] = 1; b = 1; n = 1; } 8 void Init(double (*x)[2],double *y); 9 ~perceptron() {}10 11 private:12 double w[2];13 double b;14 double n;15 };16 17 void perceptron::Init(double (*x)[2],double *y)18 {19 do20 {21 int j=0;22 for ( j = 0; j<3; j++)23 {24 double test=0;25 test = y[j] * (w[0] * x[j][0] + w[1] * x[j][1] + b);26 if (y[j] * (w[0] * x[j][0] + w[1] * x[j][1] + b) <= 0)27 break;28 }29 if (j < 3)30 {31 for (int k = 0; k<2; k++)32 w[k] += n * y[j] * x[j][k];//这里是关键33 b += n * y[j];34 }35 else return;36 cout << "w0=" << w[0] << endl << "w[1]=" << w[1] << endl << "b=" << b<
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